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Mathématiques — Niveau normal
Session été 2023 · Exercice 2
Énoncé
Correction détaillée
On calcule f'(x) pour déterminer les variations de f :
Rappel : La dérivée de xⁿ est nxⁿ⁻¹. On applique cette règle terme par terme, puis on factorise.
On cherche les valeurs de x pour lesquelles f'(x) = 0 :
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul :
Les points critiques sont donc x = 0 et x = 2.
On étudie le signe de f'(x) = 3x(x − 2) sur chaque intervalle déterminé par les racines :
| x | −∞ 0 | 0 | 0 2 | 2 | 2 +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f | ↗ | 2 | ↘ | −2 | ↗ |
f est croissante sur ]−∞ ; 0] et [2 ; +∞[, et décroissante sur [0 ; 2].
Maximum local : f(0) = 2
Minimum local : f(2) = (2)³ − 3(2)² + 2 = 8 − 12 + 2 = −2
Pour ce type d'exercice, les erreurs les plus courantes sont de ne pas factoriser correctement la dérivée, d'oublier d'évaluer f aux points critiques, ou de confondre croissance de f avec le signe de f. N'oubliez jamais de vérifier vos calculs en substituant une valeur test dans chaque intervalle.
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